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学术英语写作课的课程论文

Writer’s Memo

I actually let out a sigh of relief when I finished my draft. This was my first time writing such a long essay in English. Often, I found myself stuck halfway, with many ideas in my mind but struggling to express them smoothly with proper words. Someone said that writing an essay is like breathing: when you let go of distractions and get into the flow, words and logic will come out naturally. I tried that, and it worked pretty well.

  国家自然博物馆，一次意外而充盈的沉浸体验。

  之所以说“意外”，是我之前甚至未曾听闻这座“国字头”博物馆的大名，更未动过到此参观的念头。小时候有一段时间喜欢翻阅百科全书，对这些已知的事物，亲眼目睹它们的还原似乎并不那么诱人。至少在选修这门课程之前我是这样想的。

寒假入门一下 Python，主要关注语法特性。中英文可能混杂，塑料英语见谅。

加入了部分 CS50 的内容。

原版英文笔记见 https://cs50.harvard.edu/python/2022/notes/。

隐函数存在定理

首先考虑 $F:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ 的最简单情形。

若函数 $F(x,y)$ 在定义域区域 $D$ 内有连续的偏导数 $F_x,F_y$（i.e. $F \in C^1(D)$），且满足如下条件：

1. $\exists x_0, y_0 \in D, \text{ s.t. } F(x_0, y_0) = 0$（存在零点）
2. $F_y(x_0, y_0) \neq 0$

则在 $x_0$ 的一个邻域 $U(x_0, \delta)$ 内，存在函数 $y=y(x)$，使得

$$
F(x,y(x)) \equiv 0, \forall x \in U(x_0, \delta).(*)
$$
注：

• 由该定理的局部性，此处的定义域区域 $D$ 可缩减至 $(x_0, y_0)$ 的某个邻域 $U((x_0, y_0),r)$ 内。
• 由数学分析的性质可证明，$y(x) \in C^1(x_0-\delta, x_0+\delta)$。
  此时由复合函数的链式法则，可得
  $$
  \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x} = 0
  $$
  特别注意：
• 此处的 $\cfrac{\partial F}{\partial x}$ 实质上是 $F_1’$，因为有 $\cfrac{\partial F}{\partial x} \equiv 0$ （考虑 $F = F(x)$）。
• $\cfrac{\partial y}{\partial x} = \cfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f’(x)$ 。
  多元函数部分有严重的记号混用、滥用、异用的情况，后面会尽可能详细说明。

证明从略。
上方的条件 2 实质上是确认因变量唯一性的一种充分性条件。更形象地说，其确认了 $F(x,y)$ 的三维面图象与 $xOy$ 在局部的交集为线。

当扩充到多元多个函数时，可以用线性代数的知识判断出主元关于自由变量的函数。不难猜测，此时给定函数方程的个数在一般下应该等于主元的个数。

设有 $(x_0,y_0,z_0)$ 使得 $F(x_0,y_0,z_0)=0,G(x_0,y_0,z_0)=0$。我们仍然要求函数是 $C^1$ 的。条件 1 显然不再改变，此时我们引入 Jacobi 行列式来陈述条件 2。事实上，记 $J = \cfrac{\mathrm{D}(F,G)}{\mathrm{D}(u,v)}$ 为 F, G 的雅可比行列式，则 $J \ne 0$ 即为条件 2。

$f(x,y)=\cfrac{2xy}{x^2+y^2},f(0,0)=0$

2022 全创作概念辑《湖水》：整轨分轨并行式首创

“游走于黑白分界，于幻梦再现真实”，如你所见，概念辑《湖水》。

概念辑《湖水》，内容很杂，熔铸了对切近的思考，小到谎言与真挚的搏斗、大到短视与杞人的争执。事情有大有小，篇幅有长有短，道理有的浅显有的隐晦，谜语有的有标答有的不设标答。

有人说，语言是思想的载体。而我则说，语言是思想的源泉。概念辑《湖水》，在文学性上下了一番工夫。

概念辑《湖水》，名字是率性而起，内容则精雕细琢，尽量不赘一字。

概念辑《湖水》，和之前的所有作品一样，在探索中纂成，既是作者的摸索，也是读者的物色。希望它拥有触动人心的力量，使你沉浸在全开放的寻味之旅中，入口回绵。

概念辑《湖水》，Introducing…

整轨：水生

分轨：古船 | 透明的颜色 | 汪洋 | 梁山泊 | 黑夜 | 雪

好多好多的雪，一片一片的，有大有小。

它们挤在空气里。

有时候风停了，它们盘旋一会儿，便无可抗拒地被拉向地心，覆在枯兀的树枝旁，盖在黑褐色的山丘上。

有时候风大了，它们集结成束，近乎平行地面地飞着。密密麻麻的细丝轻轻颤动，像填满罅隙的琴弦。

它们还是要落在地上，躺在毫无新意的地方。规则的六角形，在触到固体的刹那，便化为了飞灰。它们在严冬的苍白的太阳里升腾，变成交叠的球团，又回到没有棱角的松仁。

我看到临别的雪花，恋恋不舍地吻着空气，像我所奢望的那样。

什么是逆元？

若 $ax \equiv 1 \pmod b$，则称 $x$ 是 $a$ 关于模 $b$ 的逆元，常记做 $a^{-1}$。

上式等价于 $ax + by = 1$，因此，一种求逆元的方法就是利用扩欧解方程 $ax + by = 1$。

显然，逆元不一定存在：其存在的充要条件为 $(a, b) = 1$。

推论：$p$ 是质数，$p$ 不整除 $a$，则 $a$ 模 $p$ 的逆元存在。

（2021.4.29 补记）

这篇游记在去年十一月份开坑，一月份的时候正式写完。

还记得得知判决的那个晚上，我咕掉作业抱着手机坐了一整晚，还和家长起了一些争执。几个月以后再回来看，心态也平和了许多吧。可能这段经历不能带给我别的什么，也可能再过一段时间会为当时的选择而自怨自艾，为什么不最后冲一把，说不定就……

不过没有如果了吧。到了现在早就没有回头路了，何况回头路上还布着更跌宕的坎坷。@SiRiehn_nx 能够逆天改命，又不代表你也可以，真以为自己行了啊。

上面这些可能更多是写给未来的自己的吧，提醒自己不要后悔，没必要再去填补句号的空白。