图论：Tarjan

前置概念

时间戳：搜索时第几个搜索到这个点。如搜索顺序是1->2->3->6，则6的时间戳为4

对于无向图

连通分量：对于图G来的一个子图中，任意两个点都可以彼此到达，这个子图就被称为图G的连通分量（一个点就是最小的连通分量）

最大连通分量：对于图G的一个子图，这个子图为图G的连通分量，且是图G所有连通分量中包含节点数最多的那个，即为G的最大联通分量

算法流程

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简单应用

缩点

有向图强连通分量：在有向图G中，如果两个顶点vi,vj间（vi>vj）有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通(strongly connected)。孤立的一个点也是一个强连通分量。

如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量（SCC, Strongly Connected Components）。把每个强联通分量看成一个集合，把每个集合看成一个点，那么所有SCC就形成了一个DAG（有向无环图），就是著名的缩点。

Problem

根据题目意思，我们只需要找出一条点权最大的路径就行了，不限制点的个数。那么考虑对于一个环上的点被选择了，一整条环是不是应该都被选择，这一定很优，能选干嘛不选。很关键的是题目还允许我们重复经过某条边或者某个点，我们就不需要考虑其他了。因此整个环实际上可以看成一个点（选了其中一个点就应该选其他的点）

在处理了环后，我们就重新建立一张图，以每个环为节点（孤立一个点也算也算环的，其实也就是强联通分量了）。在这张图中我们要dp，显然对于任意边<u,v>，dp[v] = max(dp[v], dp[u] + new_weight[v])。

dp的时候拓扑排一下序，这也是DAGdp的常见trick了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e4+10, M = 1e5+10;
struct node {
    int u, v, nxt;
} e[M];
int h[N], tot = 0;
int dfn[N], low[N], tag = 0, top = 0, num = 0;
int n, m, w[N], ww[N], f[N], id[N], s[N], in[N];
void tarjan(int u) {
    
    dfn[u] = low[u] = ++tag;
    s[++top] = u;
    for(int i = h[u], v; i; i = e[i].nxt) {
        v = e[i].v;
        if(!dfn[v]) {
            tarjan(v);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
        } else if(!id[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
    
    if(dfn[u] == low[u]) {
        ++num;
        while(s[top] != u) {
            id[s[top]] = num; ww[num] += w[s[top]]; top--;
        }
        id[s[top]] = num; ww[num] += w[s[top]]; top--;
    }
    
}

int main() {
    
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d", w+i);
    
    for(int i=1; i<=m; ++i) {
        int u, v; scanf("%d%d", &u, &v);
        if(u == v) continue; e[++tot] = {u, v, h[u]}; h[u] = tot;
    }
    for(int i=1; i<=n; ++i) {
        if(!dfn[i]) tarjan(i);
    }
    
    memset(h, 0, sizeof h);
    for(int i=0, t=0; i<tot; ++i) {
        int u = id[e[i].u], v = id[e[i].v];
        if(u == v); else {
            e[++t] = {u, v, h[u]}; h[u] = t;
            ++in[v];
        }
    }
    
    queue<int> q;
    for(int i=1; i<=num; ++i) {
        if(!in[i]) q.push(i);
    }
    int ans = 0;
    for(int i=1; i<=num; ++i) f[i] = ww[i], ans = max(ans, f[i]);
    while(!q.empty()) {
        int u = q.front(); q.pop();
        for(int i = h[u]; i; i = e[i].nxt) {
            int v = e[i].v;
            f[v] = max(f[v], f[u]+ww[v]);
            ans = max(ans, f[v]);
            --in[v];
            if(!in[v]) q.push(v);
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
     
    return 0;
}

找割点

割点：去掉无向联通图的某个点后，此图不连通，该点为割点。

Problem

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using std::min;

const int N = 22000, M = 110000;

struct node {
    int u, v, next;
} e[M << 1];
int h[N], tot;

int dfn[N], low[N], tag;
int res[N], ans, n, m, fa[N];

void tarjan(int u, int fa) {
    
    dfn[u] = low[u] = ++tag;
    
    int sum = 0;
    for(int i = h[u], v; i; i = e[i].next) {
        v = e[i].v;
        if(v == fa) continue;
        
        if(dfn[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]);
        else {
            ++sum;
            tarjan(v, u);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
            if(fa == -1) continue;
            if(low[v] >= dfn[u]) res[u] = true;
        }
    }
    
    if(fa == -1 and sum > 1) res[u] = true;
    
}
int main() {
    
    //freopen("p3388_4.in", "r", stdin);
    
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for(int i=1, x, y; i<=m; ++i) {
        scanf("%d%d", &x, &y);
        e[++tot] = (node) {x, y, h[x]}; h[x] = tot;
        e[++tot] = (node) {y, x, h[y]}; h[y] = tot;
    }
    
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        if(dfn[i] == 0) tarjan(i, -1);
        
    for(int i=1; i<=n; ++i) if(res[i]) ++ans;
    printf("%d\n", ans);
    for(int i=1; i<=n; ++i) if(res[i]) printf("%d ", i);
    
    return 0;
}