多元函数隐函数定理

隐函数存在定理

首先考虑 $F:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ 的最简单情形。

若函数 $F(x,y)$ 在定义域区域 $D$ 内有连续的偏导数 $F_x,F_y$（i.e. $F \in C^1(D)$），且满足如下条件：

1. $\exists x_0, y_0 \in D, \text{ s.t. } F(x_0, y_0) = 0$（存在零点）
2. $F_y(x_0, y_0) \neq 0$

则在 $x_0$ 的一个邻域 $U(x_0, \delta)$ 内，存在函数 $y=y(x)$，使得

$$
F(x,y(x)) \equiv 0, \forall x \in U(x_0, \delta).(*)
$$
注：

• 由该定理的局部性，此处的定义域区域 $D$ 可缩减至 $(x_0, y_0)$ 的某个邻域 $U((x_0, y_0),r)$ 内。
• 由数学分析的性质可证明，$y(x) \in C^1(x_0-\delta, x_0+\delta)$。
  此时由复合函数的链式法则，可得
  $$
  \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x} = 0
  $$
  特别注意：
• 此处的 $\cfrac{\partial F}{\partial x}$ 实质上是 $F_1’$，因为有 $\cfrac{\partial F}{\partial x} \equiv 0$ （考虑 $F = F(x)$）。
• $\cfrac{\partial y}{\partial x} = \cfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f’(x)$ 。
  多元函数部分有严重的记号混用、滥用、异用的情况，后面会尽可能详细说明。

证明从略。
上方的条件 2 实质上是确认因变量唯一性的一种充分性条件。更形象地说，其确认了 $F(x,y)$ 的三维面图象与 $xOy$ 在局部的交集为线。

当扩充到多元多个函数时，可以用线性代数的知识判断出主元关于自由变量的函数。不难猜测，此时给定函数方程的个数在一般下应该等于主元的个数。

设有 $(x_0,y_0,z_0)$ 使得 $F(x_0,y_0,z_0)=0,G(x_0,y_0,z_0)=0$。我们仍然要求函数是 $C^1$ 的。条件 1 显然不再改变，此时我们引入 Jacobi 行列式来陈述条件 2。事实上，记 $J = \cfrac{\mathrm{D}(F,G)}{\mathrm{D}(u,v)}$ 为 F, G 的雅可比行列式，则 $J \ne 0$ 即为条件 2。

$f(x,y)=\cfrac{2xy}{x^2+y^2},f(0,0)=0$